Trygonometria – wzory i przykłady obliczeń

Trygonometria to dział matematyki, który zajmuje się zależnościami między kątami a długościami boków trójkątów, a także funkcjami sinus, cosinus, tangens i cotangens. Jest ona niezwykle przydatna w geometrii, fizyce, informatyce, budownictwie, grafice komputerowej i wielu innych dziedzinach. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy podstawowe pojęcia, wzory trygonometryczne oraz pokażemy przykłady obliczeń.

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Podstawą trygonometrii szkolnej jest trójkąt prostokątny, czyli taki, który ma jeden kąt prosty \(90^\circ\). Pozostałe dwa kąty są ostre (mniejsze niż \(90^\circ\)).

Oznaczenia w trójkącie prostokątnym

Rozważmy trójkąt prostokątny z kątami \(A\), \(B\), \(C\), gdzie kąt \(C\) jest kątem prostym (\(C = 90^\circ\)). Przyjmijmy, że:

bok naprzeciwko kąta \(A\) ma długość \(a\),
bok naprzeciwko kąta \(B\) ma długość \(b\),
bok naprzeciwko kąta \(C\) (czyli przeciwprostokątna) ma długość \(c\).

W trójkącie prostokątnym możemy zdefiniować funkcje trygonometryczne dla kąta ostrego, np. dla kąta \(A\):

\(\sin A = \dfrac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } A}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{a}{c}\)
\(\cos A = \dfrac{\text{przyprostokątna przyległa do kąta } A}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{b}{c}\)
\(\tan A = \dfrac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } A}{\text{przyprostokątna przyległa do kąta } A} = \dfrac{a}{b}\)
\(\cot A = \dfrac{\text{przyprostokątna przyległa do kąta } A}{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } A} = \dfrac{b}{a}\)

Analogicznie możemy zdefiniować funkcje dla kąta \(B\). Zauważ, że dla kąta \(A\) bok \(a\) jest „naprzeciw”, a bok \(b\) jest „przy” tym kącie. Dla kąta \(B\) role boków \(a\) i \(b\) się zamieniają.

Podstawowe zależności między funkcjami

Między funkcjami trygonometrycznymi istnieją proste zależności:

\(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
\(\tan \alpha = \dfrac{1}{\cot \alpha}\)

Przykład 1 – obliczanie funkcji trygonometrycznych z długości boków

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości \(a = 3\) cm i \(b = 4\) cm, a przeciwprostokątna \(c = 5\) cm. Oblicz \(\sin A\), \(\cos A\), \(\tan A\), \(\cot A\), gdzie kąt \(A\) leży przy boku \(b\), a naprzeciwko niego leży bok \(a\).

Rozwiązanie:

\(\sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
\(\cos A = \dfrac{b}{c} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
\(\tan A = \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
\(\cot A = \dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\)

Zauważ, że wartości są spójne z zależnością \(\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75\).

Twierdzenie Pitagorasa i jego związek z trygonometrią

W każdym trójkącie prostokątnym zachodzi twierdzenie Pitagorasa:

\[ a^2 + b^2 = c^2. \]

To twierdzenie jest podstawą do zrozumienia jednego z najważniejszych wzorów trygonometrycznych:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \]

Dlaczego? Dla kąta \(A\) mamy:

\[ \sin A = \frac{a}{c}, \quad \cos A = \frac{b}{c}. \]

Zatem:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}. \]

Z twierdzenia Pitagorasa \(a^2 + b^2 = c^2\), więc:

\[ \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{c^2}{c^2} = 1. \]

Podstawowe wzory trygonometryczne

1. Tożsamości podstawowe

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
\(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\)
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)

2. Zależności między funkcjami

\(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
\(\sin \alpha = \dfrac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\) (dla \(\cos \alpha > 0\))
\(\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\) (dla \(\cos \alpha > 0\))

3. Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów (dla ciekawych)

Na poziomie podstawowym te wzory są rzadziej używane, ale warto wiedzieć, że istnieją:

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\)
\(\sin(\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta\)
\(\cos(\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)

Na początek skup się jednak przede wszystkim na definicjach w trójkącie prostokątnym oraz na tożsamości \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Stopnie i radiany

Kąty możemy wyrażać w stopniach lub w radianach. W szkole najczęściej używa się stopni, ale w bardziej zaawansowanej matematyce i w kalkulatorach naukowych pojawiają się radiany.

\(180^\circ = \pi\) radianów
\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\) radianów
\(360^\circ = 2\pi\) radianów

Przeliczanie:

ze stopni na radiany: \(\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}\)
z radianów na stopnie: \(\alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}\)

Tablica podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych

Warto znać (albo umieć szybko odczytać) kilka podstawowych wartości sinusów i cosinusów dla najważniejszych kątów.

Kąt \(\alpha\)	\(\sin \alpha\)	\(\cos \alpha\)	\(\tan \alpha\)
\(0^\circ\)	0	1	0
\(30^\circ\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\)
\(45^\circ\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	1
\(60^\circ\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
\(90^\circ\)	1	0	niezdefiniowana (dzielenie przez 0)

Funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym

Aby zrozumieć, dlaczego funkcje trygonometryczne można liczyć także dla kątów większych niż \(90^\circ\), wprowadza się pojęcie okręgu jednostkowego.

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu \(1\) i środku w początku układu współrzędnych \((0,0)\).
Każdemu kątowi \(\alpha\) (mierzonymu od dodatniej półosi osi \(Ox\)) odpowiada punkt na tym okręgu.
Dla tego punktu \((x,y)\) definiujemy: \(\cos \alpha = x\), \(\sin \alpha = y\).

W ten sposób sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnego kąta (np. \(120^\circ\), \(270^\circ\), a nawet dla kątów ujemnych).

Prosty wykres funkcji sinus

Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres funkcji \(y = \sin x\) (dla kątów w stopniach od \(0^\circ\) do \(360^\circ\)). Wykres pomaga zobaczyć, jak zmienia się wartość sinusa wraz z kątem.

Trygonometria w geometrii – przykłady obliczeń

Przykład 2 – wysokość drzewa (zastosowanie sinusa)

Osoba stoi w odległości \(d = 20\) m od drzewa. Kąt wznoszenia od poziomu do wierzchołka drzewa wynosi \(\alpha = 30^\circ\). Jak wysoka jest korona drzewa (przyjmujemy, że oczy osoby są na wysokości gruntu dla uproszczenia)?

Rysujemy trójkąt prostokątny: odległość do drzewa to przyprostokątna przyległa (\(d\)), wysokość drzewa to przyprostokątna naprzeciw kąta (\(h\)), linia wzroku to przeciwprostokątna.

Korzystamy z definicji tangensa lub sinusa, ale tutaj wygodnie użyć tangensa:

\[ \tan \alpha = \frac{h}{d}. \]

Stąd:

\[ h = d \cdot \tan \alpha = 20 \cdot \tan 30^\circ. \]

Wiemy, że \(\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\). Zatem:

\[ h \approx 20 \cdot 0{,}577 \approx 11{,}54 \text{ m}. \]

Drzewo ma wysokość około \(11{,}5\) m.

Przykład 3 – długość drabiny (zastosowanie cosinusa)

Drabina oparta jest o ścianę. Jej dolny koniec znajduje się w odległości \(3\) m od ściany, a kąt między drabiną a podłożem wynosi \(\alpha = 60^\circ\). Jak długa jest drabina?

Tutaj długość drabiny to przeciwprostokątna \(c\), odległość od ściany to przyprostokątna przyległa (\(b = 3\) m):

\[ \cos \alpha = \frac{b}{c}. \]

Zatem:

\[ c = \frac{b}{\cos \alpha} = \frac{3}{\cos 60^\circ}. \]

Wiemy, że \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\), więc:

\[ c = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ m}. \]

Drabina ma długość \(6\) m.

Przykład 4 – obliczanie brakującego boku z twierdzenia Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(c = 10\) cm, a jedna z przyprostokątnych \(a = 6\) cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej \(b\) oraz wartości \(\sin A\) i \(\cos A\), gdzie \(A\) to kąt naprzeciwko boku \(a\).

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

\[ a^2 + b^2 = c^2. \]

Podstawiamy dane:

\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \Rightarrow 36 + b^2 = 100 \Rightarrow b^2 = 64 \Rightarrow b = 8. \]

Mamy więc \(a = 6\), \(b = 8\), \(c = 10\). Dla kąta \(A\) (naprzeciw boku \(a\)):

\(\sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\)
\(\cos A = \dfrac{b}{c} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\)

Możemy też sprawdzić tożsamość: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\).

Strategia rozwiązywania zadań z trygonometrii

Przy obliczeniach trygonometrycznych pomocne jest trzymanie się kilku kroków:

Zrób rysunek – nawet prosty szkic trójkąta bardzo pomaga.
Zaznacz dany kąt – od niego zależy, który bok jest naprzeciw, a który przyległy.
Oznacz boki – przyprostokątna naprzeciw kąta, przyprostokątna przyległa do kąta, przeciwprostokątna.
Wybierz funkcję – sinus, cosinus, tangens lub cotangens, w zależności od tego, które boki są znane i który chcesz obliczyć.
Ułóż równanie z definicji funkcji (np. \(\sin \alpha = \dfrac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}\)).
Podstaw dane liczbowe.
Rozwiąż równanie i sprawdź, czy wynik ma sens (np. długość dodatnia, kąt w odpowiednim przedziale).

Prosty kalkulator trygonometryczny (trójkąt prostokątny)

Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci przećwiczyć obliczenia. Wpisz kąt \(\alpha\) (w stopniach) oraz długość przeciwprostokątnej \(c\), a skrypt obliczy dla Ciebie:

\(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\), \(\tan \alpha\) (jeśli zdefiniowana),
długość przyprostokątnej naprzeciw kąta \(\alpha\): \(a = c \cdot \sin \alpha\),
długość przyprostokątnej przyległej do kąta \(\alpha\): \(b = c \cdot \cos \alpha\).